指数分布的方差-A股指数的非正态分布尾部检验

根据中心极限定理（Central limit theorem）,独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列随着抽样的增加指数分布的方差，样本分布会无限逼近于正态分布。在金融交易中，经常使用中心极限定理来假设某个股票的收益率序列服从正态分布，因此一般情况下某个投资组合收益的风险价值（Value at Risk, VaR）就可以简化为正态分布中某个累积分布概率之外的数值。例如，99%的收益VaR一般可以表示为收益的抽样均值减去2.33倍抽样方差。该数值表示根据历史样本，有99%的可能性某个投资组合收益不低于VaR值。

但是，上述VaR的最大缺陷在于其基于中心极限定理假设的正态分布并非完全成立。这是因为中心极限定理的成立条件之一是各个样本之间是相互独立的，但是对于金融市场而言，股票收益率之间存在着相关性。特别是在一些极端情况下例如大股灾或者大牛市。股票出现连续下跌或者上涨，则它们每一天的收益率都会与第二天的收益率产生非常显著的相关性。由于在极端情况下单独收益率相关性的上升，整体的股票收益率样本将不再符合正态分布指数分布的方差，而是符合幂律分布(Power-law distribution)。在幂率分布下，收益率的尾部风险将会比正态分布要大得多。换言之，出现“黑天鹅”的概率会比VaR预计的要大得多。

根据上述理论，我们使用上证指数的历史数据来验证其收益率分布。我们选择从2002年7月到2017年7月的上证指数计算每日的收益率数据，总共获得3640个样本。首先，我们对样本整体的正态分布进行验证。

Tests of Normality

a. Lilliefors Significance Correction

从Q-Q图上可以看到，样本均值附近的收益率分布基本符合正态分布直线，但是在两端的收益率分布与正态分布直线有较大的差距。SPSS的K-S和S-W正态分布测试结果显示，在95%的显著水平下，我们可以拒绝“样本分布符合正态部分”这个假设 （p=0.00）。显然，样本整体不符合正态分布的主要原因在于其尾部分布的影响。因此，我们要把最高和最低的这部分收益率单独提取出来进行分析。

我们将日收益率排在前200位和后200位（大约为整体样本的5%）分别提提取出来，散点图显示两个数据序列均符合幂率函数特征。

我们使用SPSS的拟合功能对参数进行估计，结果如下：

前200名收益率拟合结果

Model Summary and Parameter Estimates

Dependent Variable:Up

由于倒数200名存在负收益，因此在拟合时我们将所有的收益率都加上1将其变为正数。

y=0.118*x-0.291

倒数200名收益率拟合结果

Model Summary and Parameter Estimates

Dependent Variable:Down1

y=0.897*x0.016

统计结果显示，幂率模型能够很好的解释超高收益和超低收益的分布（R2=0.992 和0.986）。

上述分析给予我们的启示是：当市场收益处于偏离均值较大的时候，日收益率之间的相关性会变大。此时，用幂率分布会比正态分布更加贴近预期风险。而且由于尾部风险上升，此时我们应该使用比正态分布VaR更加大的范围来进行风险控制，例如把99%VaR扩展为收益的抽样均值减去3-4倍的抽样方差，而不是2.33倍抽样方差。

以上观点、结论和建议仅供参考，不构成对任何人的投资建议，建议投资者谨慎判断。投资有风险，选择需谨慎。

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