为什么相关系数和回归系数符号相反？

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在实证分析的过程中，我们经常会遇到相关系数和回归系数符号相反的问题。这能够说明我们的模型设定有误吗？为什么会出现这种情况？

举个简单的例子来理解这一问题：高颜值的人恋爱的几率更大，因为不考虑其他因素的情况下，颜值对恋爱成功率具有正向影响，这是基于颜值一个因素来考虑的，可以理解为相关性分析，即颜值与是否恋爱（系数为＋）。但是从期来看，一段稳定的恋爱关系受到多个因素的影响，包括性格、职业、家庭等等，在以上多因素的影响下，颜值对于恋爱关系的作用很有可能是减弱的，甚至变为负向影响，这是基于颜值、性格等多个因素来考虑的，可以理解为多元回归（系数可能不显著，甚至为－）。

那么模型到底“发生了什么”使得相关系数和回归系数符号相反呢？

相关系数VS回归系数

相关系数(Correlation coefficient)是研究两个变量之间相互关系及相关方向的量，即研究一个变量发生变化时回归系数，另一个变量的变化方向以及变化量，相关系数一般用r(X,Y)表示。

回归系数(regression coefficient)表示自变量X对因变量Y影响大小的参数。例如回归方程式Y=β0+β1·X1+u中，斜率β1称为回归系数，表示控制其他因素不变的情况下，X1变动1个单位，Y将变动β1个单位。

相关系数和回归系数计算方法的最大区别在于是否控制其他变量，相关系数仅研究两两变量之间的关系，而回归系数计算是在控制其他因素不变的条件下，测量自变量x对因变量y的影响大小。

实例解释

我们以stata示例数据集educwages为例进行路径解析：

pwcorr_a wages education meducation feducation union

//相关性分析，结果显示个人以及父母受教育年限、参加工会的相关系数均为正，与工资水平正相关。

reg wages education meducation feducation union

//回归分析，结果显示个人受教育年限、参加工会回归系数为正，与相关系数符号一致，但是父母受教育年限回归系数方向变为负，与相关系数相反。

vif

//多重共线性检验，结果显示vif=2.53

接下来尝试做自变量meducation对因变量wages影响的路径分析，来看“正负号的改变”是如何发生的。

根据回归结果，我们可以写出模型方程：

回归系数——控制其他变量不变：

meduc增加1个单位，wages减少0.34个单位。

相关系数——不对其他变量进行控制：

medu增加1个单位，wages约增加0.485个单位。

所以相关性分析实际上是一个多元关系中各种路径的叠加的结果，也就是说某个自变量X1对因变量Y的影响有两条路径：

路径一：直接影响回归系数，X1→Y

路径二：间接影响，X1→（X2、X3……）→Y

因此，遇到相关系数和回归系数符号相反的情况，我们可以采取以下三个解决方法：

1、检查模型是否存在多重共线性；

2、检查数据是否存在异常值，可以进行缩尾或者截尾处理；

3、缩小研究范围，进行分组或者分行业研究；

4、忽略相关系数符号，直接分析相关系数大小。

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